تحليل طيفي لاستقرار حلول المعادلات الخطية باستخدام القيم الذاتية
DOI:
https://doi.org/10.65405/5q0z8z39الكلمات المفتاحية:
التحليل الطيفي، القيم الذاتية، استقرار الحلول، المعادلات الخطية، النظم الزمنية، نصف القطر الطيفي، تحليل المصفوفاتالملخص
تهدف هذه الدراسة إلى تحليل استقرار الحلول في الأنظمة الخطية الزمنية باستخدام منهج طيفي يعتمد على القيم الذاتية للمصفوفات. من خلال صياغة رياضية دقيقة لنماذج خطية مستمرة ومتقطعة، تم الربط بين موقع الطيف الخاص بالمصفوفة وتحقيق شروط الاستقرار، وذلك باستخدام معايير طيفية مثل نصف القطر الطيفي وتوزيع القيم الذاتية في المستوى العقدي.
اعتمدت المنهجية على تحليل حالات تمثيلية لمصفوفات ذات خصائص مختلفة، شملت مصفوفات قطرية، غير متماثلة، غير قابلة للإقطار، وأخرى ذات طيف متكرر. وقد أظهرت النتائج أن تحقق الشروط الطيفية التقليدية، مثل سالبية الجزء الحقيقي للقيم الذاتية أو وقوعها داخل دائرة الوحدة، يعد مؤشراً موثوقاً على الاستقرار، مع ضرورة مراعاة التكرار الجبري والهندسي خصوصًا في الأنظمة المتقطعة.
توصلت الدراسة إلى أن التحليل الطيفي يُمثل أداة دقيقة وفعالة لتقييم الاستقرار، دون الحاجة إلى تتبع زمني مباشر للحلول. كما تمثل هذه النتائج أساسًا لتوسيع تطبيقات المنهج الطيفي في دراسة أنظمة أكثر تعقيدًا، بما في ذلك الأنظمة غير الخطية أو الزمنية المتغيرة.
التنزيلات
المراجع
1. Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer.
2. Braylon, S. A., et al. (2020). Linear stability analysis of large dynamical systems on random directed graphs. Physical Review Research, 2(3), 033313. https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.2.033313
3. Curtain, R. F., & Zwart, H. (1995). An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems Theory. Springer.
4. Datko, R. (1970). Extending a theorem of Lyapunov to Hilbert space. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 32(3), 610–616.
5. Elsner, L., & Neumann, M. (1983). Convergence of successive powers of matrices and their spectral radius. Linear Algebra and Its Applications, 52/53, 295–309.
6. Engel, K. J., & Nagel, R. (2000). One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer.
7. Ghareebi, W. (2001). Stability analysis of positive semi-Markovian jump linear systems with state resets. مجلة جامعة دمشق للعلوم الأساسية.
8. Guglielmi, N., & Protasov, V. (2018). On the closest stable/unstable nonnegative matrix and related stability radii. arXiv preprint, arXiv:1802.03054.
9. Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.
10. Jury, E. I. (1964). Theory and Application of the Z-Transform Method. Wiley.
11. Kailath, T. (1980). Linear Systems. Prentice-Hall.
12. Khalil, H. K. (2002). Nonlinear Systems (3rd ed.). Prentice Hall.
13. Laub, A. J. (2005). Matrix Analysis for Scientists and Engineers. SIAM.
14. Lax, P. D. (2007). Linear Algebra and Its Applications. Wiley-Interscience.
15. Mauroy, A., & Mezić, I. (2014). Global stability analysis using the eigenfunctions of the Koopman operator. arXiv preprint, arXiv:1408.1379.
16. Pazy, A. (1983). Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer.
17. Reed, M., & Simon, B. (1980). Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press.
18. Trefethen, L. N., & Embree, M. (2005). Spectra and Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators. Princeton University Press.
التنزيلات
منشور
إصدار
القسم
الرخصة
الحقوق الفكرية (c) 2026 مجلة العلوم الشاملة
هذا العمل مرخص بموجب Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.
