Simple Polynomial Solutions for Some Nonlinear Differential Equations
الكلمات المفتاحية:
المعادلات التفاضلية غير الخطية، حلول متعددة الحدود، الحوسبة الرمزية.الملخص
تتناول الدراسة إمكانيات حلول متعددة الحدود البسيطة لفئات معينة من المعادلات التفاضلية غير الخطية. وتستند الدراسة إلى المنهج الجبري التقليدي لحل أنظمة متعددة الحدود غير الخطية، حيث تلعب الطرق الإسقاطية والمحصلات دورًا هامًا وتركز الدراسة على المعادلات التفاضلية غير الخطية العادية من الرتبتين الأولى والثانية، مستخدمة منهج أنساتز وأدوات الحوسبة الرمزية لتوليد حلول متعددة الحدود من الدرجة الرابعة أو أقل والتحقق من صحتها وتشمل الأهداف الرئيسية اكتشاف معادلات ذات حلول متعددة الحدود، وتقييم فعالية المناهج التحليلية مثل تحليل التوازن وتناظر لي، ومقارنة صحة الحلول الدقيقة بالبدائل التقريبية والعددية. ويعتمد البحث على منهج نظري تحليلي، بالاعتماد على المنطق الجبري، والبرمجيات الرمزية (Mathematica/Maple)، وعينة مختارة بعناية من النماذج غير الخطية المعروفة، بما في ذلك معادلات ريكاتي ودافينغ. تُظهر النتائج أنه في ظل ظروف هيكلية وحدودية معينة، قد تسمح المعادلات غير الخطية بحلول متعددة الحدود بسيطة تصف سلوك النظام بدقة كما تُظهر النتائج أن الشكل غير الخطي للمعادلة ودرجتها يؤثران بشكل كبير على جدوى تطوير حلول متعددة الحدود، وتشدد الدراسة على أهمية الحوسبة الرمزية في التحقق من هذه الحلول، ويقترح إجراء المزيد من الأبحاث في الأنظمة ذات الرتب الأعلى والمعاملات المتغيرة، بجانب إلى دمج حلول متعددة الحدود في البيئات الفيزيائية والهندسية القابلة للتطبيق.
التنزيلات
المراجع
1. Canny, J. F., Kaltofen, E., & Yagati, L. (1989, July). Solving systems of nonlinear polynomial equations faster. In Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 international symposium on Symbolic and algebraic computation (pp. 121-128).
2. Stamenković, M. (2012). Nonlinear Differential Equations in Current Research of System Nonlinear Dynamics. Scientific Technical Review, 62(3-4), 62-69.
3. Zarnan, J. A., Hameed, W. M., & Kanbar, A. B. (2022). New numerical approach for solution of nonlinear differential equations. Journal of Hunan University Natural Sciences, 49(7).
4. Folland, G. B. (2020). Introduction to partial differential equations (Vol. 102). Princeton university press.
5. Miller, R. K., & Michel, A. N. (2014). Ordinary differential equations. Academic press.
6. Lisle, I. (1992). Equivalence transformations for classes of differential equations (Doctoral dissertation, University of British Columbia).
7. Ibragimov, N. K. (1992). Group analysis of ordinary differential equations and the invariance principle in mathematical physics (for the 150th anniversary of Sophus Lie). Russian Mathematical Surveys, 47(4), 89.
8. Jordan, D., & Smith, P. (2007). Nonlinear ordinary differential equations: an introduction for scientists and engineers (No. 10). Oxford University Press.
9. Söderlind, G. (1984). On nonlinear difference and differential equations. BIT Numerical Mathematics, 24(4), 667-680.
10. Azad, H., Laradji, A., & Mustafa, M. T. (2011). Polynomial solutions of differential equations. Advances in Difference Equations, 2011(1), 58.
11. Sherbrooke, E. C., & Patrikalakis, N. M. (1993). Computation of the solutions of nonlinear polynomial systems. Computer Aided Geometric Design, 10(5), 379-405.
12. Dickenstein, A. (2005). Solving polynomial equations. Springer. Simple Polynomial Solutions.
13. Yun, D. Y. (1973). On algorithms for solving systems of polynomial equations. ACM SIGSAM Bulletin, (27), 19-25.
14. The Ansatz method for constructing polynomial solutions Mukhin, E., & Varchenko, A. (2006). Quasi-polynomials and the Bethe ansatz. arXiv preprint math/0604048.
التنزيلات
منشور
إصدار
القسم
الرخصة
هذا العمل مرخص بموجب Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
