بعض خصائص دوال لجيندر الخاصة في إطار الحسبان الكسري
DOI:
https://doi.org/10.65405/y26ge219الكلمات المفتاحية:
الحسبان الكسري، دوال لاجنذر الكسرية، مشتقة ريمان–ليوفيل، صيغة رودريغز، دالة غاما، العلاقات التكرارية، مسائل ستورم–ليوفيل.الملخص
تهدف هذه الدراسة إلى تعميم دوال لاجنذر (Legendre Polynomials) الكلاسيكية إلى إطار الحسبان الكسري، من خلال تعريف عائلة جديدة من دوال لاجنذر الكسرية باستخدام مشتقة ريمان–ليوفيل اليسارية ذات نقطة البداية \(-1\)، بالاعتماد على صيغة رودريغز. وتركز الدراسة على تحليل الخصائص الرياضية والتحليلية لهذه الدوال، ودراسة علاقاتها التفاضلية والتكاملية والتكرارية، والتحقق من سلوكها عند تغير رتبة الاشتقاق الكسرية، كما تبحث الدراسة العلاقة بين العائلة المقترحة ودوال لاجنذر الكلاسيكية، وتوضح كيفية استعادة الحالة التقليدية عند وصول رتبة الاشتقاق إلى القيم الصحيحة. وتتناول كذلك دور دالة غاما في تعميم التعريفات الرياضية لتشمل الرتب الكسرية، مع دراسة بعض الخصائص المرتبطة بالمعادلات التفاضلية. وتوضح النتائج أن خصائص التعامد والقيم الذاتية في مسائل ستورم–ليوفيل الكسرية تتطلب شروطاً إضافية تتعلق بالمؤثر الكسري ودالة الوزن والشروط الحدية. وتبرز أهمية هذه الدوال في تطوير الحلول التحليلية والعددية للمعادلات التفاضلية الكسرية، وتطبيقاتها في نمذجة الظواهر التي تتسم بتأثير الذاكرة وعدم المحلية وتبدد الطاقة.
التنزيلات
المراجع
1. Caputo, M. (1967). Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent—II. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 13(5), 529–539. https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x
2. El-Sayed, A. M. A. (1993). On the fractional differential equations. Applied Mathematics and Computation, 55(1), 1–12.
3. El-Sayed, A. M. A. (1995). Fractional order evolution equations. Journal of Fractional Calculus, 7, 89–100.
4. El-Sayed, A. M. A. (1999). Fractional order evolutionary integral equations. Applied Mathematics and Computation, 98(2–3), 139–146. https://doi.org/10.1016/S0096-3003(98)00098-8[dl.acm][academic.oup]
5. El-Sayed, A. M. A., El-Sayed, W. G., & Moustafa, O. L. (1995). On some fractional functional equations. Pure Mathematics and Applications, 6(4), 321–332.[taylorfrancis]
6. El-Sayed, A. M. A. (1997). On some basic properties and applications of the fractional calculus. Pure Mathematics and Applications, 8(2–3–4), 247–259.
7. Gómez-Aguilar, J. F., & Atangana, A. (Eds.). (2022). Applications of fractional calculus to modeling in dynamics and chaos (1st ed.). Chapman and Hall/CRC. https://doi.org/10.1201/9781003006244[dl.acm]
8. Macías-Díaz, J. E. (2022). Fractional calculus—Theory and applications. Axioms, 11(2), 43. https://doi.org/10.3390/axioms11020043
9. Paknazar, M., & De la Sen, M. (2021). Fractional coupled hybrid Sturm–Liouville differential equation with multi-point boundary coupled hybrid condition. Axioms, 10(3), 65. https://doi.org/10.3390/axioms10030065
10. Ferrás, L. L. (2025). Fractional derivatives: The ultimate operator for modelling complex viscoelastic materials? Fractional Calculus and Applied Analysis, 28, 2799–2848. https://doi.org/10.1007/s13540-025-00449-7
11. Hilfer, R., & Kleiner, T. (2024). Fractional calculus for distributions. Fractional Calculus and Applied Analysis, 27, 2063–2123. https://doi.org/10.1007/s13540-024-00306-z
12. Kostić, M. (2024). Multidimensional fractional calculus: Theory and applications. Axioms, 13(9), 623. https://doi.org/10.3390/axioms13090623
13. Rabiei, F., Kim, D., & Ali, Z. (2025). Fractional mathematical modelling: Theory, methods and applications. Fractal and Fractional, 9(10), 636. https://doi.org/10.3390/fractalfract9100636
14. Mendiola-Fuentes, J., Guerrero-Ruiz, E., & Rosales-García, J. (2024). Multivariate Mittag-Leffler solution for a forced fractional-order harmonic oscillator. Mathematics, 12(10), 1502. https://doi.org/10.3390/math12101502
15. Zhang, H., Hao, Z., & Bohner, M. (2024). Multiple and nonexistence of positive solutions for a class of fractional differential equations with p-Laplacian operator. Mathematics, 12(23), 3869. https://doi.org/10.3390/math12233
16. Kazem, S., Abbasbandy, S., & Kumar, S. (2013). Fractional-order Legendre functions for solving fractional-order differential equations. Applied Mathematical Modelling, 37(7), 5498–5510.
https://doi.org/10.1016/j.apm.2012.10.026
17. Zayernouri, M., & Karniadakis, G. E. (2013). Fractional Sturm–Liouville eigen-problems: Theory
and numerical approximation. Journal of Computational Physics, 252, 495–517.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2013.06.031
18. Zayernouri, M., Ainsworth, M., & Karniadakis, G. E. (2015). Tempered fractional Sturm–
Liouville eigenproblems. SIAM Journal on Scientific Computing, 37(4), A1777–A1800.
https://doi.org/10.1137/140985536
19. Machado, J. A. T., & Kiryakova, V. (2021). A guide to special functions in fractional calculus.
Mathematics, 9(1), 106. https://doi.org/10.3390/math9010106
20. Olver, F. W. J., et al. (Eds.). NIST Digital Library of Mathematical Functions, Chapter 14:
Legendre and Related Functions; Chapter 18: Orthogonal Polynomials. National Institute of
Standards and Technology. https://dlmf.nist.gov/14 ; https://dlmf.nist.gov/18
