Numerical Comparison Between Roemberg Integral and Trapezoidal Method Using Richardson's External Interpolation
DOI:
https://doi.org/10.65405/hhgfgr18Keywords:
تكامل رومبرق , طريقة شبه المنحرف , الاستكمال الخارجي لريتشاردسونAbstract
تهدف هذه الدراسة الي مقارنة شاملة بين أهم طرائق التكامل العددي وهما تكامل رومبرق وطريقة شبه المنحرف وذلك لتعطي تقريب أولي , ثم نطبق عملية الاستكمال الخارجي لريتشاردسون الذي يستعمل كثيرا لإيجاد نتائج ذو قيمة عالية واستخدام حلول ذو رتب أقل .
تعتمد الدراسة على استخدام تقنية الاستكمال لتحسين دقة الطرائق العددية بدون الاحتياج الى تصغير الخطوات بشكل كبير حيث تقوم هذه التقنية علي دمج حلين ناتجين عن طريقتين مختلفتين, وذلك لإلغاء حد الخطأ السائد ومن ثم الحصول على حل أكتر دقة .
توصلنا لنتيجة مهمة هي أن طريقة تكامل رومبرق تمتاز بدقة عالية مقارنة بطريقة شبه المنحرف لأن هذه الطريقة تعتمد على تقليل الخطأ العددي شيئاً فشيئاً وكما ادركنا أن زيادة كمية التقسيمات ينتج عنه تحسين التقارب في الطريقتين ولاكن معدل التقارب في طريقة تكامل رومبرق كان أسرع وأكبر دقة فالحل , وتكون أقرب للمعاير الحقيقية لتكامل كما أكدت الدراسة ان الحل باستخدام استكمال ريتشاردسون مع طريقة شبه المنحرف يجعل كمية العمليات التكاملية الحسابية المطلوبة أقل ونتائج أدق .
يوصى بتطبيق النتائج العددية المستخلصة من هذه الدراسة في حل المعادلات التفاضلية أو مسائل هندسيه حقيقه (مثل حساب المساحات , العزوم , أو تدفق الموائع)التي تظهر هذه التكاملات كجزء من الحل وتوسيع نطاق المقارنة مستقلاً ليشمل طرقاً تربيعية اخرى متل تربيع غاوس .
Downloads
References
1. Bialecki, R., & Dziubek, T. (2016). Richardson extrapolation applied to automated numerical integration. Computers & Mathematics with Applications, 72(4), 1012-1025.
2. Burden, R. L., & Faires, J. D. (2015). Numerical Analysis (10th ed.). Cengage Learning.
3. Cools, R., & Nuyens, D. (Eds.). (2016). Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods. Springer.
4. 4-Davis, P.J., & Rabinowitz, P. (2007). Methods of Numerical Integration (2nd ed.). Dover Publications.
5. Sidi, A. (2012). A User-friendly extrapolation method for economic quadrature of singular integrals. Applied Mathematics, 3(2), 143-155.
