(untitled) (مجلة العلوم الشاملة, 2025)
تتناول الدراسة إمكانيات حلول متعددة الحدود البسيطة لفئات معينة من المعادلات التفاضلية غير الخطية. وتستند الدراسة إلى المنهج الجبري التقليدي لحل أنظمة متعددة الحدود غير الخطية، حيث تلعب الطرق الإسقاطية والمحصلات دورًا هامًا وتركز الدراسة على المعادلات التفاضلية غير الخطية العادية من الرتبتين الأولى والثانية، مستخدمة منهج أنساتز وأدوات الحوسبة الرمزية لتوليد حلول متعددة الحدود من الدرجة الرابعة أو أقل والتحقق من صحتها وتشمل الأهداف الرئيسية اكتشاف معادلات ذات حلول متعددة الحدود، وتقييم فعالية المناهج التحليلية مثل تحليل التوازن وتناظر لي، ومقارنة صحة الحلول الدقيقة بالبدائل التقريبية والعددية. ويعتمد البحث على منهج نظري تحليلي، بالاعتماد على المنطق الجبري، والبرمجيات الرمزية (Mathematica/Maple)، وعينة مختارة بعناية من النماذج غير الخطية المعروفة، بما في ذلك معادلات ريكاتي ودافينغ. تُظهر النتائج أنه في ظل ظروف هيكلية وحدودية معينة، قد تسمح المعادلات غير الخطية بحلول متعددة الحدود بسيطة تصف سلوك النظام بدقة كما تُظهر النتائج أن الشكل غير الخطي للمعادلة ودرجتها يؤثران بشكل كبير على جدوى تطوير حلول متعددة الحدود، وتشدد الدراسة على أهمية الحوسبة الرمزية في التحقق من هذه الحلول، ويقترح إجراء المزيد من الأبحاث في الأنظمة ذات الرتب الأعلى والمعاملات المتغيرة، بجانب إلى دمج حلول متعددة الحدود في البيئات الفيزيائية والهندسية القابلة للتطبيق.